累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?

2019-01-26 18:30 来源:摘走网编辑整理

这是个好问题!

先来看一下题主的 motivation,也就是「增长速率」和「增长率」的区别。我猜这两个词是这么定义的:如果在一年内种群数量由 2 万变成了 3 万,那么这一年的平均「增长速率」是 1 万 / 年,而平均「增长率」是 50% / 年。

先考虑这个问题:如果「增长速率」保持恒定为 1 万 / 年,初始时种群数量为 2 万,那么 2 年后种群数量是多少?半年后呢?

这两个问题的答案显然是累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?万,累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?万。

现在考虑这样一个问题:如果「增长率」保持恒定为 50% / 年,初始时种群数量为 2 万,那么 2 年后种群数量是多少?半年后呢?

答案是,2 年后种群数量为累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?万,半年后种群数量为累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?万。注意时间放在了指数上。

现在考虑不恒定的瞬时「增长速率」和「增长率」。

设初始时(0 时刻)种群数量为累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?时刻的「增长速率」为累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?,那么累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?时间后种群的数量就是累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?,这个极限正好符合积分的定义,它等于累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?类似地,如果设初始时种群数量为累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?时刻的「增长率」为累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?,那么累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?时间后种群的数量就是累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?。这就是题主说的「连续累乘」。这个极限里累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?在指数上,但是两边取个对数就可以把累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?拿下来,同时把累乘变成累加:

累加的连续是积分,那么累乘的连续是什么?

可见,「连续累乘」并不需要定义新运算,用积分同样能够处理。

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